【題目】已知拋物線C：，過點且互相垂直的兩條動直線，與拋物線C分別交于P，Q和M，N.

（1）求四邊形面積的取值范圍；

（2）記線段和的中點分別為E，F，求證：直線恒過定點.

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）設(shè)直線：，：，聯(lián)立直線與拋物線的方程，由韋達定理和弦長公式，，同理，，利用，即可求出四邊形面積的取值范圍；

（2）由（1）知，可求出，由此可求出點的坐標，同理可求出點的坐標，再求出，利用點斜式表示出直線的方程，化簡后即可證明直線恒過定點.

（1）由題意可知兩直線，的斜率一定存在，且不等于0.

設(shè)：（），，，

則：（）.

因為聯(lián)立直線與拋物線的方程，有，

其中，由韋達定理，有.

由上可得，

同理，

則四邊形面積.

令.則.

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，S取得最小值12，

且當(dāng)時，.

故四邊形面積的范圍是.

（2）由（1）知，，則，

所以中點E的坐標為，同理點F的坐標為.

于是，直線的斜率為，

則直線的方程為：，

所以直線恒過定點.

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檢尺徑

（）

檢尺長（）

2.0

2.2

2.4

2.5

2.6

材積（）

8

0.0130

0.0150

0.0160

0.0170

0.0180

10

0.0190

0.0220

0.0240

0.0250

0.0260

12

0.0270

0.0300

0.0330

0.0350

0.0370

14

0.0360

0.0400

0.0450

0.0470

0.0490

16

0.0470

0.0520

0.0580

0.0600

0.0630

18

0.0590

0.0650

0.0720

0.0760

0.0790

20

0.0720

0.0800

0.0880

0.0920

0.0970

22

0.0860

0.0960

0.1060

0.1110

0.1160

24

0.1020

0.1140

0.1250

0.1310

0.1370

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