【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線E的極坐標(biāo)方程為,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).點(diǎn)P為曲線E上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q為線段OP的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)Q的軌跡(曲線C)的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l交曲線C于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)恰好為線段AB的三等分點(diǎn),求直線l的普通方程.
【答案】(1);(2)或.
【解析】
(1)設(shè)點(diǎn)Q,P的極坐標(biāo)分別為,,由題意可得,由極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化公式即可得解;
(2)直線參數(shù)方程代入曲線C的方程得,化簡(jiǎn)后利用韋達(dá)定理結(jié)合題意即可得解.
(1)設(shè)點(diǎn)Q,P的極坐標(biāo)分別為,,
則且,,
所以,
所以點(diǎn)Q軌跡的極坐標(biāo)方程為,
故Q軌跡的直角坐標(biāo)方程為;
(2)由(1)得曲線C的直角坐標(biāo)方程為,
將直線參數(shù)方程代入曲線C的方程得,
即,,
由點(diǎn)恰好為線段AB的三等分點(diǎn),不妨設(shè)方程兩根為,
所以,即,所以,
又與在一、三象限同號(hào),二、四象限異號(hào),
所以直線的斜率,又直線過,
故直線的普通方程為或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,,側(cè)面為矩形,.將繞翻折至,使在平面內(nèi).
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形ABCD是平行四邊形,,,.
(1)求PC的長(zhǎng);
(2)求AP與平面PBC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(0,4),拋物線C:x2=2py(0<p<4)的準(zhǔn)線為1,點(diǎn)P在C上,作PH⊥l于H,且|PH|=|PA|,∠APH=120°,則拋物線方程為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知實(shí)數(shù)x,y滿足x+4y=2.
(1)若|1+y|<|x|﹣2,求x的取值范圍;
(2)若x>0,y>0,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:,過點(diǎn)且互相垂直的兩條動(dòng)直線,與拋物線C分別交于P,Q和M,N.
(1)求四邊形面積的取值范圍;
(2)記線段和的中點(diǎn)分別為E,F,求證:直線恒過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知函數(shù)的定義域是,對(duì)任意的,有.當(dāng)時(shí),.給出下列四個(gè)關(guān)于函數(shù)的命題:
①函數(shù)是奇函數(shù);
②函數(shù)是周期函數(shù);
③函數(shù)的全部零點(diǎn)為,;
④當(dāng)算時(shí),函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且只有4個(gè)公共點(diǎn).
其中,真命題的個(gè)數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國(guó)際上通常用年齡中位數(shù)指標(biāo)作為劃分國(guó)家或地區(qū)人口年齡構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn):年齡中位數(shù)在20歲以下為“年輕型”人口;年齡中位數(shù)在20~30歲為“成年型”人口;年齡中位數(shù)在30歲以上為“老齡型”人口.
如圖反映了我國(guó)全面放開二孩政策對(duì)我國(guó)人口年齡中位數(shù)的影響.據(jù)此,對(duì)我國(guó)人口年齡構(gòu)成的類型做出如下判斷:①建國(guó)以來直至2000年為“成年型”人口;②從2010年至2020年為“老齡型”人口;③放開二孩政策之后我國(guó)仍為“老齡型”人口.其中正確的是( )
A.②③B.①③C.②D.①②
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(2)若過點(diǎn)的直線與交于,兩點(diǎn),與交于,兩點(diǎn),求的取值范圍.
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