Question

4．設點A、F（c，0）分別是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右頂點、右焦點，直線$x=\frac{a^2}{c}$交該雙曲線的一條漸近線于點P．若△PAF是等腰三角形，則此雙曲線的離心率為2．

Answer 1

分析 由|PF|＞|PA|，|PF|＞|AF|，可得△PAF是等腰三角形即有|PA|=|AF|．設雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，可得A（a，0），P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），運用兩點的距離公式，化簡整理，由a，b，c的關系和離心率公式，解方程即可得到所求值．

解答 解：顯然|PF|＞|PA|，|PF|＞|AF|，
所以由△PAF是等腰三角形得|PA|=|AF|．
設雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
可得A（a，0），P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
可得$\sqrt{（\frac{{a}^{2}}{c}-a）^{2}+（\frac{ab}{c}）^{2}}$=c-a，
化簡為e²-e-2=0，
解得e=2（-1舍去）．
故答案為2．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程和等腰三角形的定義，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．