Question

12．已知函數(shù)f（x）=sinwxcoswx+$\sqrt{3}{cos^2}wx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（w＞0），直線x=x₁，x=x₂是y=f（x）圖象在任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{4}$．
（1）求w的值；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2$ωx+\frac{π}{3}$），由題意根據(jù)周期公式即可求得ω的值．
（2）由（1）可得f（x）=sin（4x+$\frac{π}{3}$），由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可求解析式g（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），根據(jù)x的范圍，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得g（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

解答 解：（1）f（x）=sinwxcoswx+$\sqrt{3}{cos^2}wx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\sqrt{3}×\frac{1+cos2ωx}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}cos2ωx$
=sin（2$ωx+\frac{π}{3}$）…（3分）
由題意，最小正周期T=$\frac{2π}{2ω}$=2×$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，解得ω=2…（6分）
（2）由（1）可得f（x）=sin（4x+$\frac{π}{3}$），…（7分）
將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個單位后，得到y(tǒng)=sin（4x-$\frac{π}{6}$）的圖象，
再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象…（9分）
∵0$≤x≤\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$
∴-$\frac{1}{2}≤$sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1
故g（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值為g（$\frac{π}{3}$）=1，最小值為g（0）=-$\frac{1}{2}$…（12分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識的考查．