【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d)若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2. (Ⅰ)求a,b,c,d的值;
(Ⅱ)若x≥﹣2時,f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)由題意知f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4, 而f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4,
從而a=4,b=2,c=2,d=2;
(Ⅱ)由(I)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1)
設F(x)=kg(x)﹣f(x)=2kex(x+1)﹣x2﹣4x﹣2,
則F′(x)=2kex(x+2)﹣2x﹣4=2(x+2)(kex﹣1),
由題設得F(0)≥0,即k≥1,
令F′(x)=0,得x1=﹣lnk,x2=﹣2,
①若1≤k<e2 , 則﹣2<x1≤0,從而當x∈(﹣2,x1)時,F(xiàn)′(x)<0,當x∈(x1 , +∞)時,F(xiàn)′(x)>0,
即F(x)在(﹣2,x1)上減,在(x1 , +∞)上是增,故F(x)在[﹣2,+∞)上的最小值為F(x1),
而F(x1)=﹣x1(x1+2)≥0,x≥﹣2時F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.
②若k=e2 , 則F′(x)=2e2(x+2)(ex﹣e﹣2),從而當x∈(﹣2,+∞)時,F(xiàn)′(x)>0,
即F(x)在(﹣2,+∞)上是增,而F(﹣2)=0,故當x≥﹣2時,F(xiàn)(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.
③若k>e2時,F(xiàn)′(x)>2e2(x+2)(ex﹣e﹣2),
而F(﹣2)=﹣2ke﹣2+2<0,所以當x>﹣2時,f(x)≤kg(x)不恒成立,
綜上,k的取值范圍是[1,e2]
【解析】(Ⅰ)對f(x),g(x)進行求導,已知在交點處有相同的切線及曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),從而解出a,b,c,d的值;(Ⅱ)由(I)得出f(x),g(x)的解析式,再求出F(x)及它的導函數(shù),通過對k的討論,判斷出F(x)的最值,從而判斷出f(x)≤kg(x)恒成立,從而求出k的范圍.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設l,m,n是空間三條不同的直線,α,β是空間兩個不重合的平面,給出下列四個命題:
①若l與m異面,m∥n,則l與n異面;
②若l∥α,α∥β,則l∥β;
③若α⊥β,l⊥α,m⊥β,則l⊥m;
④若m∥α,m∥n,則n∥α.
其中正確命題的序號有 . (請將你認為正確命題的序號都填上)
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