Question

9．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿f（x）=-f（x+2），當x∈[0，1]時，f（x）=$\frac{x}{2}$，則f（$\frac{4007}{2}$）=-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由已知可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x）即函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，結合x∈[0，1]時，f（x）=$\frac{x}{2}$，可求f（$\frac{4007}{2}$）．

解答 解：∵對任意實數(shù)x，恒有f（x+2）=-f（x）．
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）即函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)
∴f（$\frac{4007}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$），
∵當x∈[0，1]時，f（x）=$\frac{x}{2}$，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
∴f（$\frac{4007}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$．
故答案為：-$\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查了抽象函數(shù)的函數(shù)值的求解，解題的關鍵是周期性規(guī)律的發(fā)現(xiàn)．