已知函數(shù)f(x)＝(1－x)ex－1.

(1)求函數(shù)f(x)的最大值；

(2)設(shè)g(x)＝，x>－1，且x≠0，證明：g(x)<1.

 


解：(1)f′(x)＝－xex.

當(dāng)x∈(－∞，0)時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減．

所以f(x)的最大值為f(0)＝0.

(2)證明：由(1)知，當(dāng)x＞0時，f(x)＜0，g(x)＝＜0＜1.

當(dāng)－1＜x＜0時，g(x)＜1等價于f(x)＞x.

設(shè)h(x)＝f(x)－x，則h′(x)＝－xex－1.

當(dāng)x∈(－1，0)時，0＜－x＜1，0＜ex＜1，則0＜－xex＜1，

從而當(dāng)x∈(－1，0)時，h′(x)＜0，h(x)在(－1，0)上單調(diào)遞減．

當(dāng)－1＜x＜0時，h(x)＞h(0)＝0，即g(x)＜1.

綜上，總有g(x)＜1.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


設(shè)方程3x＝|lg(－x)|的兩個根為x1，x2，則(　　)

A．x1x2＜0  B．x1x2＝1

C．x1x2＞1  D．0＜x1x2＜1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


如圖K13­2所示，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點A的水平距離10千米處開始下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖像的一部分，則該函數(shù)的解析式為    (　　)

圖K13­2

A．y＝x3－x 

B．y＝x3－x

C．y＝x3－x 

D．y＝－x3＋x

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知不等式ax2＋bx＋c≥0的解集為[－1，3]，則函數(shù)f(x)＝－bx3＋ax2＋cx＋m的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)

A．(－∞，－1)，(3，＋∞)

B．(－1，3)

C．(－3，1)

D．(－∞，－3)，(1，＋∞)

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


設(shè)f(x)＝aex＋＋b(a>0)．

(1)求f(x)在[0，＋∞)上的最小值；

(2)設(shè)曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y＝x，求a，b的值．

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案