Question

11．已知函數(shù)y=$\frac{1}{3}$x³-ax²-3a²x-4在（3，+∞）上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-3，0）
• B． [-3，0）
• C． [-3，1]
• D． （-3，1）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，可將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)y′≥0在（3，+∞）上恒成立，即求y′_min≥0，運用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得y′_min，從而得到關(guān)于a的不等關(guān)系，求解即可得到a的取值范圍．

解答 解：∵y=$\frac{1}{3}$x³-ax²-3a²x-4，
∴y′=x²-2ax-3a²，
∵函數(shù)y=$\frac{1}{3}$x³-ax²-3a²x-4在（3，+∞）上是增函數(shù)，
∴y′=x²-2ax-3a²≥0在（3，+∞）上恒成立，
∵y′=x²-2ax-3a²=（x-a）²-4a²，
∴對稱軸為x=a＜0，
∴y′在（3，+∞）單調(diào)遞增，
∴y′＞3²-2a×3-3a²=9-6a-3a²≥0，
∴-3≤a≤1，又a＜0，
∴-3≤a＜0，
∴實數(shù)a的取值范圍是[-3，0），
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的綜合運用，函數(shù)的單調(diào)性對應(yīng)著導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，若已知函數(shù)的單調(diào)性，經(jīng)常會將其轉(zhuǎn)化成恒成立問題解決．屬于中檔題．