Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=-x³+mx²-m（m＞0）．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=|f（x）|，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系列出不等式求解即可；
（2）先判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）最大值和最小值，再分類討論，即可求出函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值．

解答 解：（1）m=1時(shí)，f（x）=-x³+x²-1，
f′（x）=-x（3x-2），令f′（x）＜0，
解得：x＞$\frac{2}{3}$或x＜0，
∴f（x）在（-∞，0），（$\frac{2}{3}$，+∞）遞減；
（2）由（1）知，f′（x）=-3x²+2mx=-x（x-$\frac{2}{3}$m），
當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，$\frac{2}{3}$m）上單調(diào)增，在（$\frac{2}{3}$m，m）上單調(diào)遞減，
∵f（0）=-m＜0，f（m）=-m³+m³-m=-m＜0，
∴f（x）_min=-m，
f（x）_max=-（$\frac{2}{3}$m）³+m×（$\frac{2}{3}$m）²-m=$\frac{4}{27}$m³-m，
當(dāng)$\frac{4}{27}$m³-m＜0時(shí)，即0＜m＜$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴g（x）=|f（x）|，函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為m，
當(dāng)$\frac{4}{27}$m³-m≥0時(shí)，即m≥$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
若m≥$\frac{4}{27}$m³-m，即$\frac{3\sqrt{3}}{2}$≤m≤$\frac{3\sqrt{6}}{2}$時(shí)，
∴g（x）=|f（x）|，函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為m，
若m＜$\frac{4}{27}$m³-m，即m≥$\frac{3\sqrt{6}}{2}$時(shí)，
∴g（x）=|f（x）|，函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為$\frac{4}{27}$m³-m，
綜上所述：當(dāng)0＜m≤$\frac{3\sqrt{6}}{2}$時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為m，
當(dāng)m≥$\frac{3\sqrt{6}}{2}$時(shí)，函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為$\frac{4}{27}$m³-m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)應(yīng)用，及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法，函數(shù)的最值問題，解題中注意分類討論思想的運(yùn)用，屬于中檔題．