5.在底面為正三角形的三棱柱ABC-A1B1C1,AB=2,AA1⊥平面ABC,E,F(xiàn),G分別為BB1,AB,AC的中點.
(Ⅰ)求證:BG∥平面A1EC1
(Ⅱ)若AA1=2$\sqrt{2}$,求二面角A1-EC-F的大。

分析 (Ⅰ)取A1C的中點H,連結(jié)HG,EH,推導(dǎo)出四邊形EHGB為平行四邊形,從而BG∥EH,由此能證明BG∥平面A1EC.
(Ⅱ)以F為原點,F(xiàn)B為x軸,F(xiàn)C為y軸,過F作平面ABC的垂線為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角A1-EC-F的大小.

解答 證明:(Ⅰ)取A1C的中點H,連結(jié)HG,EH,
∴HG∥A1A,HG=$\frac{1}{2}$A1A,
又E為BB1的中點,∴BE∥HG,BE=HG,
∴四邊形EHGB為平行四邊形,∴BG∥EH,
又EH?平面A1EC,BG?平面A1EC,
∴BG∥平面A1EC.
解:(Ⅱ)以F為原點,F(xiàn)B為x軸,F(xiàn)C為y軸,過F作平面ABC的垂線為z軸,
建立空間直角坐標系,設(shè)AA1=a,
則F(0,0,0),A1(-1,0,a),E(1,0,$\frac{a}{2}$),C(0,$\sqrt{3}$,0),
∴$\overrightarrow{FE}$=(1,0,$\frac{a}{2}$),$\overrightarrow{FC}$=(0,$\sqrt{3}$,0),$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=(2,0,-$\frac{a}{2}$),$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=(1,$\sqrt{3}$,-a),
設(shè)平面ECF法向量$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FE}=x+\frac{a}{2}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FC}=\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$,取z=2,得$\overrightarrow{m}$=(-a,0,2),
設(shè)平面A1EC的法向量$\overrightarrow{n}$=(x1,y1,z1),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=2{x}_{1}-\frac{a}{2}{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}={x}_{1}+\sqrt{3}{y}_{1}-a{z}_{1}=0}\end{array}\right.$,取z=4,得$\overrightarrow{n}$=(a,$\sqrt{3}a$,4),
設(shè)二面角A1-EC-F的平面角為θ,
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{8-{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+4}•\sqrt{4{a}^{2}+16}}$,
當AA1=a=2$\sqrt{2}$時,cosθ=0,即θ=90°,
∴二面角A1-EC-F的大小為90°.

點評 本題考查線面平行的證明,考查二面角的大小的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

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A. B. C. D.

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