Question

9．已知函數(shù)f（x）=cosx+xsinx-m，x∈[-π，π]，若f（x）有4個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍為（1，$\frac{π}{2}$）．

Answer 1

分析 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m=cosx+xsinx，令g（x）=cosx+xsinx，求出g（x）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間，求出g（x）的極小值和極大值以及端點(diǎn)值，只需y=m和g（x）有4個(gè)交點(diǎn)即可．

解答 解：令f（x）=xsinx+cosx-m=0，
則m=cosx+xsinx，
令g（x）=cosx+xsinx，
則g′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
令g′（x）＞0，即有xcosx＞0，
即有 $\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{cosx＞0}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{cosx＜0}\end{array}\right.$，
解得，x∈（0，$\frac{π}{2}$）或（2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$）（（k為正整數(shù)）
或（2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$）（k為負(fù)整數(shù)）．
由于x∈[-π，π]，則增區(qū)間為（0，$\frac{π}{2}$），[-π，-$\frac{π}{2}$），
同理解得，減區(qū)間為（$\frac{π}{2}$，π]，（-$\frac{π}{2}$，0），
∴g（x）_極小值=g（0）=cos0=1，g（x）_極大值=g（-$\frac{π}{2}$）=g（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$，
而g（-π）=-1，g（π）=1，
若f（x）有4個(gè)零點(diǎn)，即y=m和g（x）=cosx+xsinx有4個(gè)交點(diǎn)，
故1＜m＜$\frac{π}{2}$，
故答案為（1，$\frac{π}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．