Question

有以下四個(gè)命題：
①對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b、c，若a＞b，c≠0，則ac＞bc；
②設(shè)S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若a₂+a₆+a₁₀為一個(gè)確定的常數(shù)，則S₁₁也是一個(gè)確定的常數(shù)；
③在三角形△ABC中，若sinA＞sinB，恒有A＞B；
④對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x，若sinx＞0，y=sinx+

2

sinx

，則y的最小值為2

2

．
其中正確命題的是

 

（把正確的答案題號(hào)填在橫線上）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題

分析：①根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可以判定命題①錯(cuò)誤；
②等差數(shù)列{a_n}中，a₂+a₆+a₁₀=k為常數(shù)時(shí)，可得a₆為常數(shù)，即S₁₁為常數(shù)，判定命題②正確；
③△ABC中，A＞B等價(jià)于a＞b，結(jié)合正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

知，判定命題③正確；
④由|sinx|≤1，當(dāng)sinx＞0時(shí)，求出y=sinx+

2

sinx

的最小值，判定命題④錯(cuò)誤．

解答： 解：對(duì)于①，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)得，
當(dāng)c＞0時(shí)，ac＞bc，c＜0時(shí)，ac＜bc，∴命題①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，等差數(shù)列{a_n}中，設(shè)a₂+a₆+a₁₀=k（k是常數(shù)），
∴a₆=

k

3

，∴S₁₁=11×

k

3

=

11k

3

為常數(shù)，∴命題②正確；
對(duì)于③，△ABC中，A＞B等價(jià)于a＞b，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

知，若A＞B，則a＞b，∴sinA＞sinB；
若sinA＞sinB，則a＞b，∴A＞B；∴命題③正確；
對(duì)于④，∵|sinx|≤1，當(dāng)sinx＞0時(shí)，
y=sinx+

2

sinx

的最小值為1+2=3，∴命題④錯(cuò)誤．
綜上，正確的命題是②③．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)命題真假的判定，考查了不等式的基本性質(zhì)，等差數(shù)列的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用以及求函數(shù)的最小值等知識(shí)，是綜合性題目．