Question

已知函數(shù)f（x）=

ax2+1

bx+c

，（a，b，c∈Z）是奇函數(shù)，又f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）證明：當(dāng)x＞1時(shí)f（x）為增函數(shù)．

2

2

＜x＜1，f（x）為減函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用奇函數(shù)定義，和函數(shù)式子求解．
（2）運(yùn)用單調(diào)性的定義證明．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

ax2+1

bx+c

，（a，b，c∈Z）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
等式

a(-x)2+1

b(-x)+c

=-

ax2+1

bx+c

恒成立，即c=0，
又f（1）=2，f（2）＜3．即a+1=2b且

4a+1

2b

＜3
解得：0＜b＜

3

2

又a，b，c∈Z，所以a=1，b=1，c=0，
f（x）=x+

1

x

．
（2）設(shè)x₁＞x₂＞1，f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）=（x₁-x₂）（

x1x2-1

x1x2

）
∵x₁＞x₂＞1，∴x₁-x₂＞0，

x1x2-1

x1x2

＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
可判斷：當(dāng)x＞1時(shí)f（x）為增函數(shù)．
設(shè)

2

2

＜x₁＜x₂＜1時(shí)f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）=（x₁-x₂）（

x1x2-1

x1x2

）
∵

2

2

＜x₁＜x₂＜1∴x₁-x₂＜0，

x1x2-1

x1x2

＜0
即f（x₁）＞f（x₂）
可判斷：當(dāng)時(shí)

2

2

＜x＜1，f（x）為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)奇偶性，單調(diào)性定義的運(yùn)用．