Question

已知函數f（x）=|x|（a-x），a∈R．
（1）若函數f（x）在x∈[0，2]上是單調函數，求實數a的取值范圍．
（2）對于確定的正數b，不等式|x|（a-x）≤b，對x∈[-1，2]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）當x∈[0，2]時，該函數化為y=-x²+ax，結合其圖象可知，只要對稱軸在區(qū)間[0，2]的外側即可；
（2）先將不等式化成a≤x+

b

|x|

，再分x∈[-1，0]和[0，2]兩種情況求出y=x+

b

|x|

的最小值，綜合得到整個定義域上的最小值，只需a小于或等于其最小值即可．

解答： 解：（1）由題意原函數化為f（x）=-x²+ax，該函數圖象開口向下，對稱軸為x=

a

2

，
故其在（-∞，

a

2

）遞增，在[

a

2

，+∞）上遞減，所以要使函數在x∈[0，2]上是單調函數，
只需

a

2

≤0或

a

2

≥2，解得a≤0或a≥4，
即a的范圍是a≤0或a≥4．
（2）由題意①x=0時，b≥0顯然成立，此時a∈R，
②當x≠0時，原式可化為：a≤x+

b

|x|

，x∈[-1，2]恒成立，
若x∈[-1，0），則a≤x-

b

x

，函數y=x-

b

x

在[-1，0）上是增函數，所以只需a≤（x-

b

x

）_min=-1+b；
若x∈（0，2]，則a≤x+

b

x

，函數y=x+

b

x

在（0，

b

）遞減，在[

b

，+∞）上遞增，
因此若

b

≥2，即b≥4時，y=x+

b

x

在（0，2]遞減，所以a≤（x+

b

x

）_min=2+

b

2

，
若

b

＜2，即0＜b＜4時，y=x+

b

x

在（0，

b

]上遞減，在（

b

，2]上遞增，此時a≤(x+

b

x

)min=2

b

綜合①②可知當b≥4時，y=x+

b

|x|

在[-1，2]的最小值為b-1，所以此時a≤b-1；
當0＜b＜4時，b-1-2

b

=（

b

-1）²-2＜0恒成立，所以此時函數y=x+

b

|x|

在[-1，2]的最小值也是b-1，故a≤b-1；
因此a≤b-1即為所求．

點評：本題難度較大，先將不等式合理轉化為a≤x+

b

|x|

，x∈[-1，2]恒成立，是解題的關鍵；再就是準確理解在整個區(qū)間上求出函數在x∈[-1，2]上的最小值，先分段來求，最后綜合比較，小中取�。�