Question

已知α，β滿足等式

α3-3α2+5α=1 β3-3β2+5β=5

，試求α+β的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化及其化簡(jiǎn)運(yùn)算

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由α，β所滿足的等式聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³-3x²+5x-3，由g（t）=f（t+1）=（t+1）³-3（t+1）²+5（t+1）-3=t³+2t是奇函數(shù)，令p+1=α，q+1=β得到f（α）=-2，f（β）=2．從而有g(shù)（p）=-g（q），即
p+q=0，而p=α-1，q=β-1．由此可求得α+β的值．

解答： 解：由

α3-3α2+5α=1 β3-3β2+5β=5

，
設(shè)f（x）=x³-3x²+5x-3，
∴g（t）=f（t+1）=（t+1）³-3（t+1）²+5（t+1）-3=t³+2t是奇函數(shù)．
令p+1=α，q+1=β，
f（α）=g（p）=p³+2p=-2，
f（β）=g（q）=q³+2q=2．
∴g（p）=-g（q）
則p+q=0，
而p=α-1，q=β-1．
即：α-1+β-1=0．
得到：∴α+β=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了學(xué)生的靈活思維能力，解答此題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³-3x²+5x-3，是壓軸題．