Question

（本小題滿分12分）

如圖，在棱長為1的正方體中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF∥，截面PQGH∥．

（Ⅰ）證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

（Ⅱ）證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，

并求出這個(gè)值；

（Ⅲ）若與平面PQEF所成的角為，求與平

面PQGH所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）略，（Ⅱ）略，（Ⅲ）

解析:

解法一：

（Ⅰ）證明：在正方體中，，，又由已知可得

，，，

所以，，

所以平面．

所以平面和平面互相垂直．··················· 4分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知

，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是

，是定值．························································ 8分

（III）解：連結(jié)BC′交EQ于點(diǎn)M．

因?yàn)?img width=75 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/38/25838.gif">，，

所以平面和平面PQGH互相平行，因此與平面PQGH所成角與與平面所成角相等．

與（Ⅰ）同理可證EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面，因此EM與的比值就是所求的正弦值．

設(shè)交PF于點(diǎn)N，連結(jié)EN，由知

．

因?yàn)?i>⊥平面PQEF，又已知與平面PQEF成角，

所以，即，

解得，可知E為BC中點(diǎn)．

所以EM=，又，

故與平面PQCH所成角的正弦值為．······································· 12分

解法二：

以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD′分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系D－xyz由已知得，故

，，，，

，，，

，，．

（Ⅰ）證明：在所建立的坐標(biāo)系中，可得

，

，

．

因?yàn)?img width=164 height=25 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/87/25887.gif">，所以是平面PQEF的法向量．

因?yàn)?img width=167 height=25 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/89/25889.gif">，所以是平面PQGH的法向量．

因?yàn)?img width=87 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/91/25891.gif">，所以，

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．······················································· 4分

（Ⅱ）證明：因?yàn)?img width=96 height=25 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/93/25893.gif">，所以，又，所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形．

在所建立的坐標(biāo)系中可求得，，

所以，又，

所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值．···································· 8分

（Ⅲ）解：由已知得與成角，又可得

                           ，

即，解得．

所以，又，所以與平面PQGH所成角的正弦值為

．·························································· 12分