Question

9．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，頂點(diǎn)B₁到對角線BD₁的距離和到平面A₁BCD₁的距離分別為h和d，則$\frac{h}ovu2qls$的取值范圍為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 設(shè)底面邊長為1，側(cè)棱長為λ，過B₁作B₁H⊥BD₁，B₁G⊥A₁B，Rt△BB₁D₁中可知B₁D₁和B₁D，進(jìn)而利用三角形面積公式求得h，設(shè)在正四棱柱中，由于BC⊥AB，BC⊥BB₁，進(jìn)而可推斷BC⊥平面AA₁B₁B，BC⊥B₁G，B₁G⊥平面AB₁CD₁，可知B₁G為點(diǎn)到平面A₁BCD₁的距離，Rt△A₁B₁B中，又由三角形面積關(guān)系得d，進(jìn)而可知$\frac{h}dzylzph$的表達(dá)式，根據(jù)λ來確定其范圍．

解答 解：設(shè)底面邊長為1，側(cè)棱長為λ（λ＞0），
過B₁作B₁H⊥BD₁，B₁G⊥A₁B．
在Rt△BB₁D₁中，B₁D₁=$\sqrt{2}$，B₁D=$\sqrt{{λ}^{2}+2}$，
由三角形面積關(guān)系得：h=B₁H=$\frac{\sqrt{2}λ}{\sqrt{{λ}^{2}+2}}$
設(shè)在正四棱柱中，由于BC⊥AB，BC⊥BB₁，
所以BC⊥平面AA₁B₁B，于是BC⊥B₁G，
所以B₁G⊥平面AB₁CD₁，
故B₁G為點(diǎn)到平面A₁BCD₁的距離，
在Rt△A₁B₁B中，又由三角形面積關(guān)系得d=B₁G=$\frac{λ}{\sqrt{{λ}^{2}+1}}$
于是$\frac{h}7dnq4ft$=$\sqrt{2}•$$\sqrt{1-\frac{1}{{λ}^{2}+2}}$，
于是當(dāng)λ＞1，所以λ²+2＞3，$\frac{2}{3}$＜1-$\frac{1}{{λ}^{2}+2}$＜1，
所以$\frac{h}4w2wrfp$∈（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）．
故答案為：（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查了點(diǎn)到面的距離計(jì)算．點(diǎn)到平面的距離是近兩年高考的一個(gè)熱點(diǎn)問題，平時(shí)應(yīng)注意強(qiáng)化訓(xùn)練．