【題目】如圖四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2 ,BC=4 ,PA=2,點M在線段PD上.
(1)求證:AB⊥PC.
(2)若二面角M﹣AC﹣D的大小為45°,求BM與平面PAC所成的角的正弦值.

【答案】
(1)證明:設E為BC的中點,連接AE,則AD=EC,AD∥EC,

∴四邊形AECD為平行四邊形,

∴AE⊥BC

∵AE=BE=EC=2 ,

∴∠ABC=∠ACB=45°,

∴AB⊥AC,

∵PA⊥平面ABCD,AB平面ABCD,

∴AB⊥PA

∵AC∩PA=A,

∴AB⊥平面PAC,

∴AB⊥PC


(2)解:設AC∩BD=O,連接OP,過點M作MN⊥AD,過點N作NG⊥AC于G,連接MG,則MN∥PA,

由PA⊥平面ABCD,可得MN⊥平面ABCD,

∴MN⊥AC,

∵NG⊥AC,MN∩NG=N,

∴AC⊥平面MNG,

∴AC⊥MG,

∴∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角,即∠MGN=45°

設MN=x,則NG=AG=x,∴AN=ND= x,

可得M為PD的中點,連接PO交BM于H,連接AH,

由(1)AB⊥平面PAC,∴∠BHA是BM與平面PAC所成的角

在△ABM中,AB=4,AM= PD= ,BM=3 ,

∴cos∠ABM=

∵∠BHA與∠ABM互余,

∴BM與平面PAC所成的角的正弦值為


【解析】(1)設E為BC的中點,連接AE,證明AB⊥PC,只需證明AB⊥平面PAC,只需證明AB⊥AC,AB⊥PA.(2)設AC∩BD=O,連接OP,過點M作MN⊥AD,過點N作NG⊥AC于G,連接MG,證明∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角,即∠MGN=45°,M為PD的中點,連接PO交BM于H,連接AH,證明∠BHA是BM與平面PAC所成的角,即可求BM與平面PAC所成的角的正弦值.

練習冊系列答案
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