Question

【題目】已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于

兩點.

(1)求線段的長度；

(2) 為坐標原點, 為拋物線上一點，若，求的值．

Answer 1

【答案】(1)9;(2) 或.

【解析】試題分析：(1)直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，再由根與系數(shù)的關(guān)系得利用拋物線的定義，即可求解弦的長度．

(2)由（1）可求得，從而兩點的坐標，進而表示出向量的坐標，得出點的坐標，代入拋物線的方程，即可求解實數(shù)的值．

試題解析：

(1)直線AB的方程是y＝2（x-2），與y2＝8x聯(lián)立，消去y得x2－5x＋4＝0，

由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝5.由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，

(2)由x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，從而A(1，－2)，B(4，4)．

設(shè)＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，

又y＝8x3，即[2 (2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.