Question

【題目】已知橢圓，離心率，點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證： 為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓離心率，點(diǎn)在橢圓上，結(jié)合性質(zhì) ， ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)， ， ，則，由三點(diǎn)共線，可得， ，則，結(jié)合，消去可得為定值.

試題解析：（1）依題意得，設(shè)，則，

由點(diǎn)在橢圓上，有，解得，則，

橢圓C的方程為： .

(2)設(shè)， ， ，則，由APM三點(diǎn)共線，則有，即，解得，則，

由BPN三點(diǎn)共線，有，即，解得，

則

=

又點(diǎn)P在橢圓上，滿足，有，

代入上式得

=，

可知為定值.