Question

4．過(guò)拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（-1，2），若$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，則直線l的斜率k=1．

Answer 1

分析 求得直線l方程，代入拋物線的方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得k的值．

解答 解：∵拋物線的方程為y²=4x，∴F（1，0），
設(shè)焦點(diǎn)弦方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韋達(dá)定理：x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
則y₁y₂=-4，y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，
∵M(jìn)（-1，2），$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，
即（x₁+1，y₁-2）•（x₂+1，y₂-2）=0，
∴1-2k+k²=0，
∴k=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．