Question

17．設函數(shù)f（x）=a（x²-10x+25）+6lnx，其中a∈R，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸相交于點（0，6）
（1）確定a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間與極值．

Answer 1

分析 （1）先由所給函數(shù)的表達式，求導數(shù)fˊ（x），再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸相交于點（0，6）列出方程求a的值即可；
（2）由（1）求出的原函數(shù)及其導函數(shù)，求出導函數(shù)的零點，把函數(shù)的定義域分段，判斷導函數(shù)在各段內(nèi)的符號，從而得到原函數(shù)的單調區(qū)間，根據(jù)在各區(qū)間內(nèi)的單調性求出極值點，把極值點的橫坐標代入函數(shù)解析式求得函數(shù)的極值．

解答 解：（1）因f（x）=a（x-5）²+6lnx，故f′（x）=2a（x-5）+$\frac{6}{x}$，（x＞0），
令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6-8a，
則曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-16a=（6-8a）（x-1），
由切線與y軸相交于點（0，6）．
可得6-16a=8a-6，
解得a=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）得f（x）=$\frac{1}{2}$（x-5）²+6lnx，（x＞0），
f′（x）=（x-5）+$\frac{6}{x}$=$\frac{（x-2）（x-3）}{x}$，
令f′（x）=0，得x=2或x=3，
當0＜x＜2或x＞3時，f′（x）＞0，
則f（x）在（0，2），（3，+∞）上為增函數(shù)，
當2＜x＜3時，f′（x）＜0，
則f（x）在（2，3）上為減函數(shù)，
故f（x）在x=2時取得極大值f（2）=$\frac{9}{2}$+6ln2，
在x=3時取得極小值f（3）=2+6ln3．

點評 本題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、函數(shù)的極值等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．