Question

12．如圖，在邊長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、M分別是棱AB、BC、DD₁的中點，
（1）求證：BM⊥平面B₁EF；
（2）（理科） 求二面角M-B₁E-F的余弦值．
（文科） 求直線ME與平面B₁EF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）過M作GM∥AD交AA₁于G，連BM，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理、定義，分別證明EF⊥BM，BM⊥B₁E，且EF∩B₁E=E，滿足定理可證明結(jié)論；
（2）（理科）以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（1）求出平面B₁EF的法向量，由向量垂直的條件求出平面MEB₁的法向量，利用向量的數(shù)量積運算和向量夾角公式，即可求出二面角M-EB₁-F的余弦值；
（文科）以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（1）求出平面B₁EF的法向量，以及$\overrightarrow{ME}$的坐標(biāo)，利用向量夾角公式和向量的數(shù)量積運算求解；

解答 證明：（1）過M作GM∥AD交AA₁于G，
正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)為AB和BC的中點，
∴BD⊥AC，且DD₁⊥面ABCD，
∴AC⊥面BDM，而EF∥AC，
∴EF⊥面BDM，則EF⊥BM，
又∵GM∥AD，∴GM⊥面ABB₁A₁，則BG⊥B₁E，
∵GM⊥B₁E，∴B₁E⊥平面BGM，
∴BM⊥B₁E，
又EF∩B₁E=E，∴BM⊥平面B₁EF；
解：（2）（理科）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（2，1，0），
F（1，2，0），M（0，0，1），B₁（2，2，2），
由（1）可得，平面B₁EF的法向量是$\overrightarrow{MB}$=（2，2，-1），
設(shè)平面B₁EM的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{ME}$=（2，1，-1），$\overrightarrow{M{B}_{1}}$=（2，2，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-z=0}\\{2x+2y+z=0}\end{array}\right.$，化簡可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2z}\\{x=\frac{3}{2}z}\end{array}\right.$，
取z=2，則x=3，y=-2，則$\overrightarrow{n}$=（3，-2，2），
∴cos＜$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{MB}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6-4+2}{3•\sqrt{17}}$=$\frac{4\sqrt{17}}{51}$；
（文科）建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
由（1）可得，平面B₁EF的法向量是$\overrightarrow{MB}$=（2，2，-1），
且$\overrightarrow{ME}$=（2，1，-1），
設(shè)直線ME與平面B₁EF所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{ME}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{ME}}{|\overrightarrow{MB}||\overrightarrow{ME}|}$|=|$\frac{4+2+1}{3×\sqrt{6}}$|=$\frac{7\sqrt{6}}{18}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的定義、判定定理，利用空間向量求二面角的余弦值、線面角等，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．