Question

17．已知a，b∈R，滿足a²+3ab+9b²=4，則Z=a²+9b²的取值范圍為[$\frac{8}{3}$，8]．

Answer 1

分析 由基本不等式得：a²+9b²≥|6ab|結(jié)合已知條件中的等式，得|6ab|≤4-3ab，從而解出ab的范圍，由此代入已知條件，可得所求的取值范圍．

解答 解：∵a²+3ab+9b²=4，∴Z=a²+9b²=4-3ab
∵由基本不等式，得a²+9b²≥|6ab|，
∴|6ab|≤4-3ab，得-4+3ab≤6ab≤4-3ab
解這個(gè)不等式，得-$\frac{4}{3}$≤ab≤$\frac{4}{9}$，
∴Z=a²+9b²=4-3ab∈[$\frac{8}{3}$，8]．
故答案為：[$\frac{8}{3}$，8]．

點(diǎn)評(píng) 本題以不等式為載體，求變量的取值范圍，著重考查了用基本不等式求最值和簡(jiǎn)單的演繹推理等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．