Question

2．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S₃=a₄+4，且a₂，a₆，a₁₈成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）設(shè)c_n=$\sqrt{{S}_{n}+t}$，若{c_n}為等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

分析 （1）求出首項(xiàng)與公差，可求求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）設(shè)c_n=$\sqrt{{S}_{n}+t}$，若{c_n}為等差數(shù)列，則2c₂=c₁+c₃，即可求實(shí)數(shù)t的值．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），由S₃=a₄+4，得3a₁+3d=a₁+3d+4，即a₁=2．
又a₂，a₆，a₁₈成等比數(shù)列，∴（a₁+5d）²=（a₁+d）（a₁+17d），整理得：d=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$
兩式相減，整理可得T_n=4-$\frac{2n+4}{{2}^{n}}$；
（3）S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+n．
c_n=$\sqrt{{S}_{n}+t}$，若{c_n}為等差數(shù)列，則2c₂=c₁+c₃，即2$\sqrt{6+t}$=$\sqrt{2+t}$+$\sqrt{12+t}$，∴t=$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．