Question

13．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx-cosx，1）$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\frac{1}{2}$），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若a，b，c為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，$a=2\sqrt{3}$，c=4，且f（A）=1，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用向量數(shù)量積運算，求出函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由f（A）=1，求出A，根據(jù)$a=2\sqrt{3}$，c=4，利用余弦定理，求出b，即可求△ABC的面積．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx-cosx，1）$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\frac{1}{2}$），
∴函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sinx-cosx）cosx+$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ
可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]（k∈z）$．
（2）f（A）=sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，∴A=$\frac{π}{3}$，
∴12=b²+16-4b，∴b=2，
∴△ABC的面積是$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$2\sqrt{3}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查向量數(shù)量積運算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．