Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=

a

3

x³-ax²+x+1．
（Ⅰ）若f（x）在x=x₁，x=x₂處取得極值，且1＜

x2

x1

≤5，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)x≥2時(shí)，求3f（x）+|f′（a）-1|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用求函數(shù)極值的方法，和根與系數(shù)的關(guān)系，得出參數(shù)a的范圍．
（Ⅱ）首先判斷f（x）單調(diào)遞增函數(shù)，求出f（x）的最小值，令g（a）=3f（x）+|f'（a）-1|，問題得以解決．

解答： 解（Ⅰ） f'（x）=ax²-2ax+1．
∵x₁，x₂是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以x₁，x₂是f'（x）=0的兩根．
∴x1+x2=2，x1•x2=

1

a

．
又∵1＜

x2

x1

≤5，
∴2＜

x1+x2

x1

≤6．
∴1＜

1

x1

≤3．
從而

1

3

≤x1＜1．
∴

1

a

=x1x2=x1(2-x1)=-(x1-1)2+1
當(dāng)

1

3

≤x1＜1時(shí)，

1

a

∈[

5

9

，1)．
故 a∈(1，

9

5

]．
（Ⅱ）當(dāng)x≥2時(shí)，f'（x）單調(diào)遞增
∴f'（x）≥f'（2）=1．
∴f（x）單調(diào)遞增
∴f（x）的最小值f(x)min=f(2)=3-

4

3

a．
令g（a）=3f（x）+|f'（a）-1|
∴g(a)≥9-4a+|a3-2a2|=

a3-2a2-4a+9，a≥2 -a3+2a2-4a+9，a＜2

．
又9-4a+|a3-2a2|=

a3-2a2-4a+9，a≥2 -a3+2a2-4a+9，a＜2

≥1．
∴g（a）=3f（x）+|f'（a）-1|的最小值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)，及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查抽象概括、推理論證能力．