Question

12．教材曾有介紹：圓x²+y²=r²上的點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線方程為x₀x+y₀y=r²．我們將其結(jié)論推廣：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線方程為$\frac{{{x_0}x}}{a^2}+\frac{{{y_0}y}}{b^2}$=1，在解本題時(shí)可以直接應(yīng)用．已知，直線x-y+$\sqrt{3}$=0與橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}$=1（a＞1）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過橢圓C₁上的兩點(diǎn)A、B分別作該橢圓的兩條切線l₁、l₂，且l₁與l₂交于點(diǎn)M（2，m）．當(dāng)m變化時(shí)，求△OAB面積的最大值；
（3）若P₁，P₂是橢圓C₂：$\frac{x^2}{{2{a^2}}}+{y^2}$=1上不同的兩點(diǎn)，P₁P₂⊥x軸，圓E過P₁，P₂，且橢圓C₂上任意一點(diǎn)都不在圓E內(nèi)，則稱圓E為該橢圓的一個(gè)內(nèi)切圓．試問：橢圓C₂是否存在過左焦點(diǎn)F₁的內(nèi)切圓？若存在，求出圓心E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）將直線y=x+$\sqrt{3}$代入橢圓方程，得到x的方程，由直線和橢圓相切的條件：判別式為0，解方程可得a的值；
（2）設(shè)切點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得切線l₁：x₁x+2y₁y=2，l₂：x₂x+2y₂y=2，再由M代入上式，結(jié)合兩點(diǎn)確定一條直線，可得切點(diǎn)弦方程，即有AB的斜率，結(jié)合兩點(diǎn)的斜率公式，由①可得AB的方程為x+my=1，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和直線與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，求得△OAB的面積，化簡整理，運(yùn)用基本不等式即可得到所求最大值；
（3）依題意可得符合要求的圓E，即為過點(diǎn)F，P₁，P₂的三角形的外接圓．所以圓心在x軸上．根據(jù)題意寫出圓E的方程．由于圓的存在必須要符合，橢圓上的點(diǎn)到圓E距離的最小值是|P₁E|，結(jié)合圖形可得圓心E在線段P₁P₂上，半徑最�。�又由于點(diǎn)F₁已知，即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）將直線y=x+$\sqrt{3}$代入橢圓方程x²+a²y²=a²，
可得（1+a²）x²+2$\sqrt{3}$a²x+2a²=0，
由直線和橢圓相切，可得
△=12a⁴-4（1+a²）•2a²=0，
解得a=$\sqrt{2}$（由a＞1），
即有橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）設(shè)切點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得切線l₁：x₁x+2y₁y=2，
l₂：x₂x+2y₂y=2，
由l₁與l₂交于點(diǎn)M（2，m），可得
2x₁+2my₁=2，2x₂+2my₂=2，
由兩點(diǎn)確定一條直線，可得AB的方程為2x+2my=2，
即為x+my=1，
原點(diǎn)到直線AB的距離為d=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+my=1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$消去x，可得（2+m²）y²-2my-1=0，
y₁+y₂=$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{1}{2+{m}^{2}}$，
可得|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{\frac{8（1+{m}^{2}）}{（2+{m}^{2}）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$，
可得△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{1+{m}^{2}}}{2+{m}^{2}}$，
設(shè)t=$\sqrt{1+{m}^{2}}$（t≥1），
S=$\frac{\sqrt{2}t}{1+{t}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{t+\frac{1}{t}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t=1即m=0時(shí)，S取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）由橢圓的對(duì)稱性，可以設(shè)P₁（m，n），P₂（m，-n），點(diǎn)E在x軸上，設(shè)點(diǎn)E（t，0），
則圓E的方程為：（x-t）²+y²=（m-t）²+n²，
由內(nèi)切圓定義知道，橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)E距離的最小值是|P₁E|，
設(shè)點(diǎn)M（x，y）是橢圓C₂：x²+4y²=4上任意一點(diǎn)，
則|ME|²=（x-t）²+y²=$\frac{3}{4}$x²-2tx+t²+1，
當(dāng)x=m時(shí)，|ME|²最小，∴m=-$\frac{-4t}{3}$=$\frac{4t}{3}$，①，
又圓E過點(diǎn)F₁，∴（-$\sqrt{3}$-t）²=（m-t）²+n²，②
點(diǎn)P₁在橢圓上，∴n²=1-$\frac{{m}^{2}}{4}$，③
由①②③，解得：t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或t=-$\sqrt{3}$，
又t=-$\sqrt{3}$時(shí)，m=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜-2，不合題意，
綜上：橢圓C₂存在符合條件的內(nèi)切圓，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系的判斷，考查直線和橢圓相切的條件：判別式為0，以及切線的方程的運(yùn)用，同時(shí)考查直線和橢圓相交的弦長公式和三角形的面積的最值的求法，注意運(yùn)用基本不等式，屬于難題．