Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x-a|-|x-3|．
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥2；
（2）若存在實數(shù)x，使得$f（x）≤-\frac{a}{2}$成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=-1，則f（x）=|x+1|-|x-3|，運用函數(shù)的零點分區(qū)間，討論當x≥3時，當-1≤x＜3時，當x＜-1時，化簡不等式求解，最后求并集即可；
（2）由題意知這是一個存在性的問題，須求出不等式左邊的最大值，可運用絕對值不等式的性質可得最大值，再令其大于等于$\frac{a}{2}$，即可解出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）若a=-1，則f（x）=|x+1|-|x-3|，
若x≥3，由f（x）≥2，
得（x+1）-（x-3）≥2不等式顯然成立，
若-1≤x＜3，由f（x）≥2，
得（x+1）+（x-3）≥2，解得x≥2．
又-1≤x＜3，∴2≤x＜3．
若x＜-1，由f（x）≥2，
得-（x+1）+（x-3）≥2不等式不成立．
∴不等式f（x）≥2的解集為{x|x≥2}．
綜上所述，不等式f（x）≥2的解集為{x|x≥2}；
（2）不等式$f（x）≤-\frac{a}{2}$即|x-a|-|x-3|$≤-\frac{a}{2}$．
|x-a|-|x-3|≥-|（x-a）-（x-3）|=-|a-3|，
若a＞3，等號成立當且僅當x≥3，
若a=3，等號成立當且僅當x∈R，
若a＜3，等號成立當且僅當x≤3．
∴-|a-3|$≤-\frac{a}{2}$，即|a-3|$≥\frac{a}{2}$，
若a≥3，則（a-3）$≥\frac{a}{2}$，解得a≥6．
若a＜3，則-（a-3）$≥\frac{a}{2}$，解得a≤2．
∴a的取值范圍是（-∞，2]∪[6，+∞）．
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，2]∪[6，+∞）．

點評 本題考查絕對值不等式，求解本題的關鍵是正確理解題意，區(qū)分存在問題與恒成立問題的區(qū)別，本題是一個存在問題，解決的是有的問題，故取|a-3|≥$\frac{a}{2}$，即小于等于左邊的最大值即滿足題意，本題是一個易錯題，主要錯誤就是出在把存在問題當成恒成立問題求解，因思維錯誤導致錯誤，是有一定難度的題目．