【題目】已知函數為自然對數的底數.
(1)求函數的極值;
(2)設函數,若存在實數,使得成立,求實數的取值范圍.
【答案】(1)極大值為1,無極小值(2)
【解析】
(1)先求出,得知當所以當x<0時,f′(x)>0;當x>0時,f′(x)<0,從而求得函數f(x)在(-∞,0)上單調遞增,在(0,+∞)上單調遞減,從而求得函數的極值;
(2)假設存在實數,使得成立,則,,分別討論①當時,②當時,③當時的情況,從而求得的范圍.
(1)函數的定義域:,,
所以當x<0時,f′(x)>0;當x>0時,f′(x)<0,
故f(x)在(-∞,0)上單調遞增,在(0,+∞)上單調遞減
所以,無極小值.
(2)若存在實數,使得成立,則
由可得
①當時,≤0,在[0,1]上單調遞減,
∴,即;
②當時,>0,在[0,1]上單調遞增,
∴,即;
③當時,
時,,單調遞減;時,,單調遞增,
,由于,故
,由(1)知,所以
故不可能成立;
綜上所述,實數的取值范圍是.
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【題目】f(x)是定義在R上的增函數,則下列結論一定正確的是( )
A.f(x)+f(-x)是偶函數且是增函數
B.f(x)+f(-x)是偶函數且是減函數
C.f(x)-f(-x)是奇函數且是增函數
D.f(x)-f(-x)是奇函數且是減函數
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【題目】某住宅小區(qū)為了使居民有一個優(yōu)雅舒適的生活環(huán)境,計劃建一個八邊形的休閑小區(qū),它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構成的面積為200平方米的十字型地域.現(xiàn)計劃在正方形MNPQ上建花壇,造價為4200元/平方米,在四個相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪,造價為210元/平方米,再在四個空角上鋪草坪,造價為80元/平方米.
(1)設總造價為S元,AD的邊長為x米,DQ的邊長為y米,試建立S關于x的函數關系式;
(2)計劃至少要投入多少元,才能建造這個休閑小區(qū).
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【題目】已知函數f(x)(x∈R)滿足f(-x)=2-f(x),若函數y=與y=f(x)圖象的交點為(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),則 (xi+yi)=( )
A. 0 B. m
C. 2m D. 4m
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【題目】設等差數列的前項和為,數列的前項和為,下列說法錯誤的是( )
A. 若有最大值,則也有最大值
B. 若有最大值,則也有最大值
C. 若數列不單調,則數列也不單調
D. 若數列不單調,則數列也不單調
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【題目】某企業(yè)為打入國際市場,決定從兩種產品中只選擇一種進行投資生產.已知投資生產這兩種產品的有關數據如下表:(單位:萬美元)
其中年固定成本與年生產的件數無關,為待定常數,其值由生產產品的原材料價格決定,預計.另外,年銷售件產品時需上交萬美元的特別關稅.假設生產出來的產品都能在當年銷售出去.
(1)寫出該廠分別投資生產兩種產品的年利潤與生產相應產品的件數之間的函數關系,并指明其定義域;
(2)如何投資才可獲得最大年利潤?請你做出規(guī)劃.
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