Question

已知m為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2x³+3mx²+3mx的圖象上存在斜率為-12的切線l．
（Ⅰ）若切線l有且僅有一條，求m的值；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-2，-1]上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意可得方程f′（x）=-12有唯一解，即2x²+2mx+m+4=0有唯一解，根據(jù)判別式△=0，解得m的值．
（Ⅱ）根據(jù)△≥0，求得m≥4，或 m≤-2．當(dāng)m≥4時(shí)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，-1]上單調(diào)遞減，從而求得函數(shù)f（x）的值域．當(dāng)m≤-2時(shí)，同理根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)f（x）在區(qū)[-2，-1]上單調(diào)遞增，從而求得函數(shù)的值域．

解答： 解：（Ⅰ）∵切線l有且僅有一條，∴方程f′（x）=-12有唯一解，
即6x²+6mx+3m=-12有唯一解，即2x²+2mx+m+4=0有唯一解，
∴△=4m²-8m-32=0，解得m=4，或m=-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△=4m²-8m-32≥0，求得m≥4，或 m≤-2．
當(dāng)m≥4時(shí)，則-

m

2

≤-2，f′（x）=6x²+6mx+3m在區(qū)間[-2，-1]上單調(diào)遞增，
根據(jù)f′（-2）=24-9m＜0，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，-1]上單調(diào)遞減，
由f（-2）=-16+6m，f（-1）=-2，可得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-2，-16+6m]．
當(dāng)m≤-2時(shí)，則-

m

2

≥-1，f′（x）=6x²+6mx+3m在區(qū)間[-2，-1]上單調(diào)遞減，
根據(jù)f′（-2）=24-9m＞0，f′（-1）=6-m＞0，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，-1]上單調(diào)遞增，
由f（-2）=-16+6m，f（-1）=-2，可得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-16+6m，-2]．
綜上可得，當(dāng)m≥4時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇-2，-16+6m]；
當(dāng)m≤-2時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-16+6m，-2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．