Question

1．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，$0＜φ＜\frac{π}{2}$）的周期為π，且圖象上一個最低點(diǎn)為$M（{\frac{2π}{3}\;，\;\;-2}）$．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)$x∈[{0\;，\;\;\frac{π}{12}}]$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的周期，最值過定點(diǎn)，求出A，ω和φ的值即可，
（Ⅱ）結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．
（Ⅲ）求出角的范圍結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可求出函數(shù)的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)的最小正周期為π，最小值為-2，
∴A=2，T=$\frac{2π}{ω}=π$，即ω=2，
則函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ），
∵圖象上一個最低點(diǎn)為$M（{\frac{2π}{3}\;，\;\;-2}）$．
∴2sin（2×$\frac{2π}{3}$+φ）=-2，
即sin（$\frac{4π}{3}$+φ）=-1，
則$\frac{4π}{3}$+φ=$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
則φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z，
∵$0＜φ＜\frac{π}{2}$，
∴當(dāng)k=0時，φ=$\frac{π}{6}$，
即f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（Ⅱ）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為為$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]（k∈Z）$．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
（Ⅲ）當(dāng)$x∈[{0\;，\;\;\frac{π}{12}}]$時，2x∈[0，$\frac{π}{6}$]，
則2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
則sin（2x+$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$，
sin（2x+$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則$\frac{1}{2}×2$≤f（x）≤2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即1≤f（x）≤$\sqrt{3}$，
即f（x）的值域為[1，$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)單調(diào)性和值域的求解，結(jié)合條件求出A，ω和φ的值是解決本題的關(guān)鍵．