Question

【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E為BB1中點(diǎn)． （Ⅰ）證明：AC⊥D1E；
（Ⅱ）求DE與平面AD1E所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱AD上是否存在一點(diǎn)P，使得BP∥平面AD1E？若存在，求DP的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：連接BD ∵ABCD﹣A1B1C1D1是長方體，∴D1D⊥平面ABCD，
又AC平面ABCD，∴D1D⊥AC
在長方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC
又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，
而D1E平面BB1D1D，∴AC⊥D1E
（Ⅱ）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），
∴
設(shè)平面AD1E的法向量為 ，則 ，即
令z=1，則
∴
∴DE與平面AD1E所成角的正弦值為
（Ⅲ）解：假設(shè)在棱AD上存在一點(diǎn)P，使得BP∥平面AD1E．
設(shè)P的坐標(biāo)為（t，0，0）（0≤t≤1），則
∵BP∥平面AD1E
∴ ，即 ，
∴2（t﹣1）+1=0，解得 ，
∴在棱AD上存在一點(diǎn)P，使得BP∥平面AD1E，此時DP的長 ．．

【解析】（I）利用線面垂直的判定定理，證明AC⊥平面BB1D1D，即可得到AC⊥D1E；（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，確定面AD1E的法向量，利用向量的夾角公式，即可求DE與平面AD1E所成角的正弦值；（Ⅲ）利用BP∥平面AD1E，可得 ，利用向量的數(shù)量積公式，可得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的性質(zhì)，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；垂直于同一個平面的兩條直線平行即可以解答此題．