Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=4，且對任意m，n，p，q∈N* ， 若m+n=p+q，則有am+an=ap+aq ． （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為Sn ， 求證： ≤Sn＜ ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：令m=1，p=n﹣1，q=2，可得：an+a1=an﹣1+a2 ， 即an﹣an﹣1=3．（n≥2）． ∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差為3．
∴an=1+3（n﹣1）=3n﹣2．
（Ⅱ）證明： = = ．
∴Sn= + +…+
= ＜ ．
另一方面：數(shù)列 單調(diào)遞增，∴Sn≥S1= ．
∴ ≤Sn＜
【解析】（I）令m=1，p=n﹣1，q=2，可得：an+a1=an﹣1+a2 ， 即an﹣an﹣1=3．（n≥2）．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（II） = = ．利用裂項(xiàng)求和方法與數(shù)列的單調(diào)性即可證明．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．