Question

17．如圖：AB是拋物線y²=2px（p＞0）過焦點(diǎn)F的一條弦，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），相應(yīng)的準(zhǔn)線為l．
證明：
（1）以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切；
（2）|AB|=2（x₀+$\frac{p}{2}$）（焦點(diǎn)弦長與中點(diǎn)關(guān)系）；
（3）|AB|=x₁+x₂+p；
（4）x₁•x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，y₁•y₂=-p²．

Answer 1

分析 （1）分別過A、B、M作準(zhǔn)線的垂線AA₁、BB₁、MM₁，垂足分別為A₁、B₁、M₁，作出圖形，利用拋物線的定義及梯形的中位線性質(zhì)可推導(dǎo)，|MM₁|=$\frac{1}{2}$|AB|，從而可判斷圓與準(zhǔn)線的位置關(guān)系；
（2）直接由（1）中的結(jié)論|AB|=2|MM₁|得答案；
（3）直接利用拋物線的定義域證明|AB|=x₁+x₂+p；
（4）由拋物線方程得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫出AB所在直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得y₁y₂為定值，進(jìn)一步得到x₁•x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$．

解答 證明：（1）分別過A、B、M作準(zhǔn)線的垂線AA₁、BB₁、MM₁，垂足分別為A₁、B₁、M₁，如圖所示：
由拋物線的定義可知，|AA₁|=|AF|，|BB₁|=|BF|，
在直角梯形APQB中，|MM₁|=$\frac{1}{2}$（|AA₁|+|BB₁|）=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|）=$\frac{1}{2}$|AB|，
故圓心M到準(zhǔn)線的距離等于半徑，
∴以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線l相切；
（2）由（1）知，|MM₁|=$\frac{1}{2}$|AB|，則|AB|=2|MM₁|，
∵|MM₁|=${x}_{0}+\frac{p}{2}$，∴|AB|=2（x₀+$\frac{p}{2}$）；
（3）|AB|=|AF|+|BF|=|AA₁|+|BB₁|=${x}_{1}+\frac{p}{2}+{x}_{2}+\frac{p}{2}$=x₁+x₂+p；
（4）根據(jù)拋物線方程，得F（$\frac{p}{2}$，0），直線AB的方程為x=ty+$\frac{p}{2}$，
聯(lián)立拋物線方程得y²-2ptx-p²=0．
∴y₁y₂=-p²，則x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}•\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}=\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}=\frac{{p}^{4}}{4{p}^{2}}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查了拋物線的焦點(diǎn)弦與拋物線的位置關(guān)系問題，學(xué)習(xí)中應(yīng)對以上性質(zhì)在理解的基礎(chǔ)上加以記憶，該題是中檔題．