Question

6．已知函數(shù)f（x）的定義域是D，若存在常數(shù)m、M，使得m≤f（x）≤M對任意x∈D成立，則稱函數(shù)f（x）是D上的有界函數(shù)，其中m稱為函數(shù)f（x）的下界，M稱為函數(shù)f（x）的上界；特別地，若“=”成立，則m稱為函數(shù)f（x）的下確界，M稱為函數(shù)f（x）的上確界．
（Ⅰ）判斷$f（x）=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}，g（x）={9^x}-2•{3^x}$是否是有界函數(shù)？說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=1+a•2^x+4^x（x∈（-∞，0））是以-3為下界、3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)$f（x）=\frac{{1-a•{2^x}}}{{1+a•{2^x}}}（{x∈[{0，1}]，a＞0}）$，T（a）是f（x）的上確界，求T（a）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)有界函數(shù)的定義分別求出f（x），g（x）的范圍，從而判斷是否有界即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為-2^x-$\frac{4}{{2}^{x}}$≤a≤$\frac{2}{{2}^{x}}$-2^x在（-∞，0）上恒成立，令t=2^x，g（t）=-t-$\frac{4}{t}$，h（t）=-t+$\frac{2}{t}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出t的范圍即可；
（Ⅲ）求出a≤$\frac{1-y}{1+y}$≤2a，根據(jù)$\frac{1-2a}{1+2a}$≤y≤$\frac{1-a}{1+a}$，得到T（a）=$\frac{1-a}{1+a}$，從而求出T（a）的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\sqrt{x+1}$-$\sqrt{x}$=$\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$，
∵x≥0，∴$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{x}$≥1，
∴0＜f（x）≤1，函數(shù)f（x）是有界函數(shù)，
令t=3^x，則t＞0，
∴y=t²-3t≥-1即g（x）∈[-1，+∞），
∴g（x）不是有界函數(shù)；
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）=1+a•2^x+4^x，（x∈（-∞，0））是以-3為下界，3為上界的有界函數(shù)，
∴-3≤1+a•2^x+4^x≤3在（-∞，0）上恒成立，
即-2^x-$\frac{4}{{2}^{x}}$≤a≤$\frac{2}{{2}^{x}}$-2^x在（-∞，0）上恒成立，
令t=2^x，g（t）=-t-$\frac{4}{t}$，h（t）=-t+$\frac{2}{t}$，
∵x＜0，∴0＜t＜1，
設(shè)t₁，t₂∈（0，1），且t₁＜t₂，
則g（t₁）-g（t₂）=$\frac{{（t}_{2}{-t}_{1}）{{（t}_{1}t}_{2}-4）}{{{t}_{1}t}_{2}}$＜0，
∴g（t）在（0，1）遞增，
故g（t）＜g（1）=-5，∴a≥-5，h（t₁）-h（t₂）＞0，
∴h（t）在（0，1）上是減函數(shù)，
故h（t）＞h（1）=1，
∴a≤1，
綜上，實數(shù)a的范圍是[-5，1]；
（Ⅲ）由y=$\frac{1-a{•2}^{x}}{1+a{•2}^{x}}$，得：a•2^x=$\frac{1-y}{1+y}$，
∵x∈[0，1]，a＞0，
∴a≤a•2^x≤2a，
即a≤$\frac{1-y}{1+y}$≤2a，
∴$\frac{1-2a}{1+2a}$≤y≤$\frac{1-a}{1+a}$，
故T（a）=$\frac{1-a}{1+a}$=-1+$\frac{2}{a+1}$，
∵a＞0，
∴T（a）的范圍是（-1，1）．

點評 本題考查了新定義問題，考查有界函數(shù)有界函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．