Question

11．已知命題：“?x∈{x|-1＜x＜1}，使等式x²-x-m=0成立”是真命題．
（1）求實數(shù)m的取值集合M；
（2）設(shè)不等式$\frac{x+a-2}{x-a}≤0$的解集為N，若x∈N是x∈M的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次不等式的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化求解即可．
（2）根據(jù)充分條件和必要條件的定義轉(zhuǎn)化為集合關(guān)系進行求解即可．

解答 解：（1）由題意知，方程x²-x-m=0在（-1，1）上有解，
即m的取值范圍就是函數(shù)y=x²-x在（-1，1）上的值域，易得$M=\left\{{m|-\frac{1}{4}≤m＜2}\right\}$．
（2）因為x∈N是x∈M的必要不充分條件，所以M⊆N且M≠N
若M⊆N，分以下幾種情形研究；
①當a=1時，解集N為空集，不滿足題意，
②當a＞1時，a＞2-a，此時集合N={x|2-a≤x＜a}，
則$\left\{{\begin{array}{l}{2-a≤-\frac{1}{4}}\\{a≥2}\end{array}}\right.$解得$a≥\frac{9}{4}$，且$a=\frac{9}{4}$時，M≠N，故$a≥\frac{9}{4}$滿足題意，
③當a＜1時，a＜2-a，此時集合N={x|a＜x≤2-a}，
則$\left\{{\begin{array}{l}{a＜-\frac{1}{4}}\\{2-a≥2}\end{array}}\right.$，解得$a＜-\frac{1}{4}$．
綜上，$a≥\frac{9}{4}$或$a＜-\frac{1}{4}$時，x∈N是x∈M的必要不充分條件．

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合不等式的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．