Question

3．（1）如果f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{x}{1-x}$，則當(dāng)x≠0且x≠1時，求f（x）的解析式；
（2）已知f（x）是一次函數(shù)，且滿足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用換元法令$\frac{1}{x}$=t，解得x=$\frac{1}{t}$，將x，代入即可求得f（x）的解析式；
（2）設(shè)f（x）=ax+b（a≠0），將3f（x+1）-2f（x-1）展開，列方程，求得a和b的值，求得f（x）的解析式．

解答 解：（1）令$\frac{1}{x}$=t，得x=$\frac{1}{t}$（t≠0且t≠1），
∴f（t）=$\frac{\frac{1}{t}}{1-\frac{1}{t}}$=$\frac{1}{t-1}$，
∴f（x）=$\frac{1}{x-1}$（x≠0且x≠1）．
（2）設(shè)f（x）=ax+b（a≠0），
則3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b，
即ax+5a+b=2x+17，不論x為何值都成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b+5a=17}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=7}\end{array}\right.$，
∴f（x）=2x+7．

點評 本題考查利用換元法求函數(shù)解析式，考查換元法的綜合運用，函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．