Question

18．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D為AC的中點．
（1）求證：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求二面角B₁-C₁D-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接B₁C與BC₁相交0，連接OD，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明AB₁∥平面BDC₁；
（2）建立坐標系，求出平面的法向量，利用向量法進行求解．

解答 證明：連接B₁C與BC₁相交0，連接OD，

∵BCC₁B₁是矩形，
∴O是B₁C的中點，
∵D為AC的中點，
∴OD∥AB₁，
∵AB₁?平面BDC₁，CD?平面BDC₁
∴AB₁∥平面BDC₁；
（2）建立空間坐標系如圖：

則C₁（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0），B₁（0，0，2）．
則$\overrightarrow{{C}_{1}B}$=（0，3，2），$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（1，3，0），$\overrightarrow{{C}_{1}{B}_{1}}$=（0，0，2），
令平面B₁DC的一個法向量為$\overrightarrow m=（x，y，z）$
$\overrightarrow{{C}_{1}B}$$•\overrightarrow{m}$=0，$\overrightarrow{{C}_{1}D}$$•\overrightarrow{m}$=0，從而有$\left\{\begin{array}{l}{3y+2z=0}\\{x+3y=0}\end{array}\right.$，
不妨令x=1，則y=-$\frac{1}{3}$，z=$\frac{1}{2}$
得到平面B₁DC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）
令平面B₁C₁D的一個法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
所以$\overrightarrow{n}$$•\overrightarrow{{C}_{1}{B}_{1}}$=0$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=0$，從而有，$\left\{\begin{array}{l}{z=0}\\{x+3y=0}\end{array}\right.$，不妨令y=-1，則x=3，z=0
得到平面B₁C₁D的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（3，-1，0），…（10分）
因為$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}$=$\frac{3+\frac{1}{3}}{\frac{7}{6}•\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{7}$．…（11分）
則二面角B₁-C₁D-B的余弦值是$\frac{2\sqrt{10}}{7}$．

點評 本題主要考查線面平行的判定以及二面角的求解，建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法是解決空間二面角的常用方法，綜合性較強，運算量較大．