Question

6．已知雙曲線$M：\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$與拋物線$y=\frac{1}{8}{x^2}$有公共焦點F，F(xiàn)到M的一條漸近線的距離為$\sqrt{3}$，則雙曲線方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{3}=1$
• B． $\frac{y^2}{3}-\frac{x^3}{7}=1$
• C． $\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$
• D． ${y^2}-\frac{x^2}{3}=1$

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點F（0，2），可得c=2，求得雙曲線的漸近線方程，由點到直線的距離公式可得b，求得a，進而得到雙曲線的方程．

解答 解：拋物線$y=\frac{1}{8}{x^2}$，即x²=8y的焦點F（0，2），
即有雙曲線的c=2，
雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
可得F到漸近線的距離為d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b=$\sqrt{3}$，
即有a=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{4-3}$=1，
則雙曲線的方程為y²-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用漸近線方程和點到直線的距離公式，考查運算能力，屬于基礎題．