Question

19．設f（x）=|x-3|+|x-4|
（Ⅰ）求函數g（x）=$\sqrt{2-f（x）}$的定義域；
（Ⅱ）若對任意的實數x，不等式f（x）≥a²-a-1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由關系式可得2-f（x）≥0即|x-3|+|x-4|≤2，對x分類討論去絕對值即可；
（2）利用絕對值定理可以得出f（x）的最小值為1，把恒成立問題轉換為最值問題進行求解．

解答 解：（Ⅰ）∵2-f（x）≥0
∴|x-3|+|x-4|≤2，
∴當x＜3時，3-x+4-x≤2，
解得：x≥$\frac{5}{2}$，又x＜3，
∴$\frac{5}{2}$≤x＜3
當3≤x≤4時，x-3+4-x≤2，即1≤2恒成立，
∴3≤x≤4；
當x＞4時，x-3+x-4≤2，解得：x≤$\frac{9}{2}$，又x＞4，
∴4＜x≤$\frac{9}{2}$；
綜上所述，$\frac{5}{2}$≤x≤$\frac{9}{2}$，
故函數g（x）的定義域為{x|$\frac{5}{2}$≤x≤$\frac{9}{2}$ }．
（Ⅱ）∵|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，
∴1≥a²-a-1，
∴-1≤a≤2．

點評 考查了絕對值不等式和恒成立問題，屬于基礎題型，應熟練掌握．