Question

8．解下列三角方程：
（1）方程sinx+$\sqrt{3}$cosx=0在x∈[0，π]上的解為$\frac{2π}{3}$；
（2）cos²x-sin²x=$-\frac{1}{2}$；
（3）tan（x-$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{π}{3}$，在區(qū)間（-2π，2π）內(nèi)的解．

Answer 1

分析 （1）由已有可得tanx=-$\sqrt{3}$，又由x∈[0，π]，可得答案；
（2）由已知可得cos2x=$-\frac{1}{2}$，結(jié)合特殊角的余弦函數(shù)，可得答案；
（3）由已知可得tanx=-$\sqrt{3}$，結(jié)合x∈（-2π，2π），可得答案．

解答 解：（1）若sinx+$\sqrt{3}$cosx=0，則sinx=-$\sqrt{3}$cosx，
則tanx=-$\sqrt{3}$，
又∵x∈[0，π]，
故x=$\frac{2π}{3}$；
（2）cos²x-sin²x=cos2x=$-\frac{1}{2}$，
則2x=$\frac{2π}{3}$+2kπ，或2x=$\frac{4π}{3}$+2kπ，k∈Z，
解得：x=$\frac{π}{3}$+kπ，或x=$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
（3）tan（x-$\frac{π}{3}$）=$\frac{tanx-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}tanx}$=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
解得：tanx=-$\sqrt{3}$，
又由x∈（-2π，2π），
故x=$-\frac{4π}{3}$，或x=$-\frac{π}{3}$，或x=$\frac{2π}{3}$，或x=$\frac{5π}{3}$，
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查的知識點是三角函數(shù)的化簡求解，熟練掌握三角函數(shù)的定義，是解答的關(guān)鍵．