Question

17．定義在R上的函數(shù)f（x）與f（x+1）均為奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，$\frac{1}{2}$]時，f（x）=$\sqrt{x}$，則f（$\frac{31}{4}$）=（　�。�

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 利用函數(shù)f（x）與f（x+1）均為奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x），f（-x+1）=-f（x+1），從而f（x+2）=f（x），函數(shù)的周期為2，即可求得結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）與f（x+1）均為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），f（-x+1）=-f（x+1），
∴f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)的周期為2，
∴f（$\frac{31}{4}$）=f（-$\frac{1}{4}$）=-f（$\frac{1}{4}$），
∵當(dāng)x∈[0，$\frac{1}{2}$]時，f（x）=$\sqrt{x}$，
∴f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{31}{4}$）=-$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．