Question

8．如圖，已知點F為拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點，點A（2，m）在拋物線E上，且|AF|=3．
（1）求拋物線E的方程；
（2）已知點G（-1，0），延長AF交拋物線E于點B，證明：GF為角AGB的角平分線．

Answer 1

分析 （1）由拋物線定義可得：|AF|=2+$\frac{p}{2}$=3，解得p．即可得出拋物線E的方程．
（II）由點A（2，m）在拋物線E上，解得m，不妨取A（2，2$\sqrt{2}$），F(xiàn)（1，0），可得直線AF的方程，與拋物線方程聯(lián)立化為2x²-5x+2=0，解得B（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$）．又G（-1，0），計算k_GA，k_GB，可得k_GA+k_GB=0，∠AGF=∠BGF，即可證明GF為角AGB的角平分線．

解答 （1）解：由拋物線定義可得：|AF|=2+$\frac{p}{2}$=3，解得p=2．
∴拋物線E的方程為y²=4x；
（2）證明：∵點A（2，m）在拋物線E上，
∴m²=4×2，解得m=±2$\sqrt{2}$，不妨取A（2，2$\sqrt{2}$），F(xiàn)（1，0），
∴直線AF的方程：y=2$\sqrt{2}$（x-1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{2}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為2x²-5x+2=0，解得x=2或$\frac{1}{2}$，B（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$）．
又G（-1，0），∴k_GA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，k_GB=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴k_GA+k_GB=0，
∴∠AGF=∠BGF，∴x軸平分∠AGB，即GF為角AGB的角平分線．

點評 本小題主要考查拋物線、直線與拋物線的位置關(guān)系及其性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．