Question

19．已知函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{a}{2}{x^2}-（a+1）x$．
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y=-2，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x＞0時(shí)，$\frac{f（x）}{x}＜\frac{f'（x）}{2}$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知得$f'（x）=\frac{1}{x}+ax-（a+1）$，則f'（1）=0，f（1）=-2，解得a．分別解出f'（x）＞0，f'（x）＜0，即可得出單調(diào)區(qū)間．
（2）若$\frac{f（x）}{x}＜\frac{f'（x）}{2}$，得$\frac{lnx}{x}+\frac{a}{2}x-（a+1）＜\frac{1}{2x}+\frac{ax}{2}-\frac{a+1}{2}$，即$\frac{lnx}{x}-\frac{1}{2x}＜\frac{a+1}{2}$在區(qū)間（0，+∞）上恒成立．設(shè)$h（x）=\frac{lnx}{x}-\frac{1}{2x}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（1）由已知得$f'（x）=\frac{1}{x}+ax-（a+1）$，則f'（1）=0，
而$f（1）=ln1+\frac{a}{2}-（a+1）=-\frac{a}{2}-1$，∴函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為$y=-\frac{a}{2}-1$．
則$-\frac{a}{2}-1=-2$，解得a=2，
那么$f（x）=lnx+{x^2}-3x，f'（x）=\frac{1}{x}+2x-3$，
由$f'（x）=\frac{1}{x}+2x-3=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}＞0$，得$0＜x＜\frac{1}{2}$或x＞1，
因則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（0，\frac{1}{2}）$與（1，+∞）；
由$f'（x）=\frac{1}{x}+2x-3＜0$，得$\frac{1}{2}＜x＜1$，
因而f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$（\frac{1}{2}，1）$．
（2）若$\frac{f（x）}{x}＜\frac{f'（x）}{2}$，得$\frac{lnx}{x}+\frac{a}{2}x-（a+1）＜\frac{1}{2x}+\frac{ax}{2}-\frac{a+1}{2}$，
即$\frac{lnx}{x}-\frac{1}{2x}＜\frac{a+1}{2}$在區(qū)間（0，+∞）上恒成立．
設(shè)$h（x）=\frac{lnx}{x}-\frac{1}{2x}$，則$h'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}+\frac{1}{{2{x^2}}}=\frac{3-2lnx}{{2{x^2}}}$，
由h'（x）＞0，得$0＜x＜{e}^{\frac{3}{2}}$，因而h（x）在$（0，{e}^{\frac{3}{2}}）$上單調(diào)遞增，
由h'（x）＜0，得$x＞{e}^{\frac{3}{2}}$，因而h（x）在$（{e}^{\frac{3}{2}}，+∞）$上單調(diào)遞減．
∴h（x）的最大值為$h（{e}^{\frac{3}{2}}）$=${e}^{-\frac{3}{2}}$，因而$\frac{a+1}{2}$$＞{e}^{-\frac{3}{2}}$，
從而實(shí)數(shù)a的取值范圍為$\{a|a＞2{e}^{-\frac{3}{2}}-1\}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、不等式的解法、方程的解法、利用導(dǎo)數(shù)研究切線方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．