Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的對(duì)稱中心為M（x₀，y₀），記函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），f′（x）的導(dǎo)函數(shù)為f″（x），則有f″（x₀）=0．若函數(shù)f（x）=x³-3x²，則可求得f（

1

2013

）+f（

2

2013

）+…+f（

4024

2013

）+f（

4025

2013

）

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意對(duì)已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點(diǎn)（1，-2）對(duì)稱，即f（x）+f（2-x）=-4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2012對(duì)-4和一個(gè)f（1）=-2，可得答案．

解答： 解：由題意f（x）=x³-3x²，則f′（x）=3x²-6x，f″（x）=6x-6，
由f″（x₀）=0得x₀=1，而f（1）=-2，故函數(shù)f（x）=x³-3x²關(guān)于點(diǎn)（1，-2）對(duì)稱，即f（x）+f（2-x）=-4．
所以f(

1

2013

)+f(

4025

2013

)=-4，…f(

2012

2013

)+f(

2014

2013

)=-4，f(

2013

2013

)=f(1)=-2，
所以f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+…f(

4024

2013

)+f(

4025

2013

)=-4×2012+（-2）=-8050，
故答案為：-8050．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，利用條件求出函數(shù)的對(duì)稱中心是解決本題的關(guān)鍵．