Question

定義在[-1，1]上的增函數(shù)，y=f（x），f（0）≠0，f（a+b）=f（a）f（b）
（1）求f（0）
（2）求證：對(duì)任意的x∈[-1，1]，恒有f（x）≥0；
（3）若f（x）•f（2x-x²）＞1，求x的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法解決，令x=y=0即得；
（2）利用單調(diào)函數(shù)的只需證明最小值f（-1）≥0，即可得到結(jié)論；
（3）由f（x）•f（2x-x²）＞f（0）得f（3x-x²）＞f（0）．結(jié)合f（x）的單調(diào)性去掉符號(hào)“f”后，轉(zhuǎn)化成一元二次不等式解決即可．

解答： 解：（1）令a=b=0，則f（0）=f²（0），
∵f（0）≠0，∴f（0）=1，
（2）令b=-x，a=x，則f（0）=f（x）•f（-x）=1．
則當(dāng)x=1時(shí)f（-1）f（1）=1，
則f（-1）與f（1）同號(hào)，
∵f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
即f（1）＞f（0）．
∵f（0）=1＞0，∴f（1）＞f（0）=1＞0，
即當(dāng)x∈[0，1]，恒有f（x）＞0，即f（x）≥0成立．
∵f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，
∴f（0）＞f（-1），
∵f（-1）與f（1）同號(hào)，
∴f（-1）＞0，
即f（0）＞f（-1）＞0，
則對(duì)任意的x∈[-1，1]，恒有f（x）≥0成立．
（3）由f（x）•f（2x-x²）＞1，
由f（0）=1得f（3x-x²）＞f（0）．
又f（x）是R上的增函數(shù)，
∴3x-x²＞0，
∴0＜x＜3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．利用賦值法是解決本題的關(guān)鍵．