Question

18．已知正數(shù)x、y滿足x+2$\sqrt{xy}$≤λ（x+y）恒成立，則實數(shù)λ的最小值為$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出λ的表達式，再由此構造函數(shù)y=$\frac{1+2t}{1{+t}^{2}}$，利用導數(shù)求出y的最大值，即得λ的最小值．

解答 解：∵x＞0，y＞0，
且x+2$\sqrt{xy}$≤λ（x+y）恒成立，
∴λ≥$\frac{x+2\sqrt{xy}}{x+y}$=$\frac{1+2\sqrt{\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$恒成立；
設t=$\sqrt{\frac{y}{x}}$，t＞0，
∴得函數(shù)y=$\frac{1+2t}{1{+t}^{2}}$，
則y′=$\frac{2（1{+t}^{2}）-（1+2t）（2t）}{{（1{+t}^{2}）}^{2}}$=$\frac{2-2t-{2t}^{2}}{{（1{+t}^{2}）}^{2}}$，
令y′=0，得2-2t-2t²=0，
解得t=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或t=$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$（不合題意，舍去），
∴當t=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$時，y有最大值y_max=$\frac{1+2×（\frac{\sqrt{5}-1}{2}）}{1{+（\frac{\sqrt{5}-1}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$；
∴λ的最小值為$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的性質與應用問題，也考查了利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調性與求最值的應用問題，是綜合性題目．