Question

13．對于不等式$\frac{{x}^{2}+1+c}{\sqrt{{x}^{2}+c}}$≥$\frac{1+c}{\sqrt{c}}$，x∈R．
（1）經(jīng)驗證c=1，2，3時，不等式都成立，試問，不等式是否對任意的正數(shù)c都成立？說明理由．
（2）對已知的正數(shù)c，發(fā)現(xiàn)不等式右邊$\frac{1+c}{\sqrt{c}}$改成某些值，如-c，0，不等式都成立，試求出所有這樣值的集合．

Answer 1

分析 （1）解決這類不等式的常用方法就是變量代換，令$\sqrt{{x}^{2}+c}$=t，則t≥$\sqrt{c}$，用分析法可得要使不等式，只需要x²≥$\frac{1}{c}$-c，故當(dāng)$\frac{1}{c}$＞c 時，原不等式不是對一切實數(shù)x都成立，當(dāng)$\frac{1}{c}$-c≤0時，原不等式對一切實數(shù)x都能成立；
（2）利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性來解決，即可求出所有這樣值的集合．

解答 解：令$\sqrt{{x}^{2}+c}$=t（t≥$\sqrt{c}$），則f（x）=$\frac{{t}^{2}+1}{t}$-$\frac{1+c}{\sqrt{c}}$=$\frac{（t\sqrt{c}-1）（t-\sqrt{c}）}{t\sqrt{c}}$①
若不等式成立，即①式≥0，則需t$\sqrt{c}$-1≥0，∴x²+c≥$\frac{1}{c}$，∴x²≥$\frac{1}{c}$-c．
 故當(dāng)$\frac{1}{c}$＞c 時，即 0＜c＜1原不等式不是對一切實數(shù)x都成立，即原不等式對一切實數(shù)x不都成立．
要使原不等式對一切實數(shù)x都成立，即使x²≥$\frac{1}{c}$-c對一切實數(shù)都成立．
∵x²≥0，故應(yīng)有$\frac{1}{c}$-c≤0．
再由c＞0 可得，當(dāng)c≥1時，原不等式對一切實數(shù)x都能成立；
（2）當(dāng)0＜c≤1時，f（t）=t+$\frac{1}{t}$≥2，當(dāng)t=1，即x=$\sqrt{1-c}$時取等號，所以[f（x）]_min=2，故M={m|m≤2}．
當(dāng)c＞1時，t$≥\sqrt{c}$，t$\sqrt{c}$-1＞0．
由①知，f（x）-$\frac{1+c}{\sqrt{c}}$≥0，當(dāng)t=$\sqrt{c}$時取等號，所以[f（x）]_min=$\frac{1+c}{\sqrt{c}}$，故M=（-∞，$\frac{1+c}{\sqrt{c}}$]．
綜上所述，當(dāng)0＜c≤1時，M=（-∞，2]；當(dāng)c＞1時，M=（-∞，$\frac{1+c}{\sqrt{c}}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，用分析法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．