Question

18．如圖，AB切圓O于點(diǎn)A，AC為圓O的直徑，BC交圓O于點(diǎn)D，E為CD的中點(diǎn)，若BD=5，AC=6，則AE=2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 連接OE，可得OE⊥CE，AB切圓O于點(diǎn)A，可得AB⊥AC，設(shè)CE=DE=a，運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義，解方程可得a=2，再在△ACE中，運(yùn)用余弦定理，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：連接OE，可得OE⊥CE，
AB切圓O于點(diǎn)A，可得AB⊥AC，
設(shè)CE=DE=a，
在直角三角形ABC中，cosC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{6}{5+2a}$，
在直角三角形COE中，cosC=$\frac{CE}{CO}$=$\frac{a}{3}$，
由$\frac{6}{5+2a}$=$\frac{a}{3}$，即為2a²+5a-18=0，
解得a=2（負(fù)的舍去），
在△ACE中，AE²=CE²+CA²-2CE•CA•cosC
=4+36-2×2×6×$\frac{2}{3}$=24，
可得AE=2$\sqrt{6}$．
故答案為：2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的性質(zhì)和勾股定理，以及三角形的余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．